新國學網


基元網總制作

當前位置: 首頁 » 專欄 » 專稿 » 精文轉摘 » 正文

新國學網:數學藝術:扭曲的藝術——“怪圈”莫比烏斯環

放大字體  縮小字體 發布日期:2018-11-25  版權聲明,必須查看=>點擊進入

新國學網公眾號本文非新聞類內容,擁有理論知識產權著作權。未經同意和授權就轉載者,等同于認可支付每篇文章不低于50萬元人民幣的稿酬/版權使用費/且收取每點擊閱讀一次100元的計次費。使用/引用而未注明出處者甚至改造者,等同于認可向本站支付不低于5萬元的費用,版權詳情查看

核心提示:扭曲的藝術新世紀小學數學教材編委會1 莫比烏斯環的 發現 一張四邊形紙條有幾條邊,幾個面?容易知道,有4條邊,2個面。那么,能


扭曲的藝術
新世紀小學數學教材編委會


1

莫比烏斯環的 發現

一張四邊形紙條有幾條邊,幾個面?容易知道,有4條邊,2個面。那么,能否將它變成2條邊,2個面呢?這個也容易做到,只要將它卷成一個圓柱形,即可。怎么判斷是兩個面?只要用一種顏色的繪筆,在紙圈上的一面涂抹,涂完一個面后,提筆才能重新涂另一個面。邊也一樣。

四邊形紙條卷成圓柱形

那么再問:能否將它變成1條邊,1個面呢?也就是說,能否用一種顏色,在紙圈上的一面涂抹,最后把整個紙圈全部抹成這種顏色而不留下任何空白?關于這個問題,很多數學家都有過思考。


德國 數學家

莫比烏斯(Moebius,1790~1868)在研究“四色定理”時,也對此發生了濃厚興趣。他長時間專心思索、試驗,毫無結果。

1858年的一天,他被這個問題弄得頭昏腦漲了,便到野外去散步。野外那新鮮的空氣和清涼的風,使他頓感輕松舒適,但他頭腦里仍然只有那個尚未找到的圈兒,就連一片片肥大的玉米葉子,在他眼里都變成了“綠色的紙條兒”。這就是作為一名數學家的特性。他不由自主地蹲下來,擺弄著、觀察著。葉子彎曲著聳拉下來,有許多扭成半圓形的,他隨便撕下一片,順著葉子自然扭的方向對接成一個圓圈兒。突然,他驚喜地發現,這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圓圈。

莫比烏斯回到辦公室,裁出紙條,把紙的一端扭轉180°,再將一端的正面和背面粘在一起,這樣就做成了特殊的紙圈兒。接著,莫比烏斯捉了一只小甲蟲,放在上面讓它爬。結果,小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。莫比烏斯激動地說:“公正的小甲蟲,你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面。”就這樣有意無意間,莫比烏斯發現了三維歐幾里德空間中的一種奇特的二維單面環狀結構——后人稱之為莫比烏斯環(Mobius strip)。同時獨立發現這個怪圈的還有數學家約翰·李斯丁

莫比烏斯于1809 年入萊比錫大學學習法律,后轉攻數學、物理和天文,尤其涉及天文和數學兩大領域。擔任過“數學王子”高斯(Gauss ,1777~1855)的助教,后在高斯的推薦下成為特級教授和萊比錫天文臺的觀測員,并于1848年成為萊比錫天文臺臺長。莫比烏斯在數學上有很多貢獻,不過他為世人所知還多半是因為這個用他的名字命名的奇怪曲面:莫比烏斯環。莫比烏斯也因此成了拓撲學研究的先驅者。

2

奇特的莫比烏斯環

如莫比烏斯所做的,只要將一個長方形紙條ABCD的一端AB固定,另一端CD扭轉180度后,把AB和DC粘合在一起就可得到一條莫比烏斯環。

莫比烏斯環的制作

這個莫比烏斯環的重要特性是:雖然在每個局部都可以說正面反面,但整體上不能分隔成正面和反面,即這種曲面是只有一個面的 “單側曲面”。

公正的螞蟻無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面

若是在這樣的二維世界里行走,你不用繞過邊界就可以走遍整個世界。若是用一支筆沿著邊界涂色,不用提筆就可以涂遍整個邊界,就是說它也是一個只有一條邊界的曲面。

這個怪圈因為具有一些奇異的性質而成為數學珍品之一。

下面,就讓我們來探尋它的神秘之處

0

1

若是在莫比烏斯環的中間畫上一條線,然后用剪刀沿著這條線剪開這個莫比烏斯環,將會得到什么呢?

實驗結果:如果沿著莫比烏斯環中間剪開,和一般的紙帶(會分成斷開的兩條環)不一樣,而會形成一個比原來的莫比烏斯環周長大一倍、把紙帶的端頭扭轉了四次再粘合一起的環。

0

2

若是在莫比烏斯環的三等分處畫一條線,然后用剪刀沿著這條線剪開這個莫比烏斯環,將會得到什么呢?

實驗結果:如果沿著莫比烏斯環三等分處剪開,剪刀繞兩個圈竟又回到原出發點,這時會形成兩條帶子,其中一條和原來的周長一樣長,另一條則比原來的莫比烏斯環周長大一倍,而且兩條是套在一起的。

0

3

若是在莫比烏斯環的四等分處畫一條線,然后用剪刀沿著這條線剪開這個莫比烏斯環,將會得到什么呢?

實驗結果:如果沿著莫比烏斯環四等分處剪開,這時會形成兩條比原來的莫比烏斯環周長都大一倍帶子,而且兩條是套在一起的。

0

4

若是在莫比烏斯環的五等分處畫一條線,然后用剪刀沿著這條線剪開這個莫比烏斯環,將會得到什么呢?

實驗結果:如果沿著莫比烏斯環五等分處剪開,這時會形成三條帶子,兩條比原來的莫比烏斯環周長都大一倍帶子,另一條則和原來的周長一樣長,而且三條是套在一起的。

由此規律,你能得出什么結論呢?

下面繼續見證奇跡

若是在(一)的結果基礎上,對剪出來的環再沿著中間用剪刀剪開,又將得到什么結果呢?

兩張疊在一起的長方形紙帶

① 將兩張疊在一起的長方形紙帶同時扭轉半圈,把相應的端頭粘合在一起;

② 把食指放在兩層帶之間移動;

③ 把雙層帶拉開成單層帶,比較雙、單層帶的長度與扭轉半圈數;

④ 將單層帶恢復為雙層帶,同時沿它的中間線剪開。

通過以上這些步驟,分別又會發現什么呢

好吧!你們可以自己玩玩

相信一定能感受到這個“怪圈”神奇了

3

生活、藝術中的莫比烏斯環

莫比烏斯環乍看起來似乎不過是數學中意外發現的一個新奇的玩具而已。其實,這個“怪圈”遠非數學中的一個拓撲游戲。莫比烏斯1858年發現了它,可有關論文在巴黎研究院的卷宗里埋藏了7年之久.1865年發表出來后以奇妙的單側單面性吸引無數學者步入拓撲的殿堂,從而促進了拓撲學的形成和發展。它更因其所具有的特性和內在的意義,被大量的運用于生活和藝術設計中。

01

莫比烏斯環傳動帶

普通傳動帶有兩個面,只用到一面,而以莫比烏斯環做傳動帶,因它只有一面, 損耗就較平均,從而可延長使用壽命,提高了利用效率。

莫比烏斯環做傳動帶

1979年,美國著名輪胎公司百路馳創造性地把傳送帶制成莫比烏斯圈形狀,這樣一來,整條傳送帶環面各處均勻地承受磨損,避免了普通傳送帶單面受損的情況,使得其壽命延長了整整一倍。

另外,針式打印機中的色帶,為充分利用其表面,常被設計成莫比烏斯環。再如,音樂磁帶中莫比烏斯圈的運用,可以加大磁帶的信息承載量。

02

莫比烏斯圈過山車

在美國匹茲堡著名肯尼森林游樂園里,就有一部“加強版”的云霄飛車——它的軌道被設計成一個莫比烏斯圈。乘客在軌道的兩面上飛馳。相信,定然很刺激。

莫比烏斯圈過山車

03

各種莫比烏斯環標志

莫比烏斯圈循環往復的幾何特征,蘊含著永恒、無限的意義,因此常被用于各類標志設計。

微處理器廠商Power Architecture的商標就是一條莫比烏斯圈,Power Architecture技術是一個主流平臺,被廣泛應用于包括汽車控制、遠程通訊、無線和有線基礎架構、企業網絡、服務器和數字家庭。

國際通用的循環再造標志就是一個綠色的、擺放成三角形的莫比烏斯帶,如垃圾回收標志。

04

埃舍爾《莫比烏斯帶》系列作品

在所有莫比烏斯環的藝術作品中,荷蘭的圖形藝術家M.C.埃舍爾(M. C. Escher,1898~1972)的《莫比烏斯帶》系列最能表現莫比烏斯環的生動形象,同時也是最具震撼力的作品了。

作為荷蘭科學思維版畫大師的M.C.埃舍爾是20世紀畫壇中獨樹一幟的藝術家。讓埃舍爾備受拓撲學家關注的原因則是他對于莫比烏斯環的藝術上的理解。當然,埃舍爾并不是一開始就想到莫比烏斯環的。他曾表示:“1960年,一位英國數學家(我已經記不起他的名字了)勸我作一幅莫比烏斯環的版畫。而那時我對這個東西還幾乎一無所知。”然而,莫比烏斯環似乎一直在等待真正賞識它的人出現,一旦埃舍爾發現了它,它立即就成了埃舍爾的主題。他曾多次繪制這個有趣的莫比烏斯環:

《莫比烏斯I》(Mobius I, 1963)

《騎士》(Horseman,木刻,1946)

《纏著魔帶的立方體》(Cube with Magic Ribbons,1957)

《莫比烏斯帶》

“埃舍爾不僅畫各種莫比烏斯環,卻并不拘泥于典型的莫比烏斯環。他將其與自己擅長的鑲嵌畫融合,探索各種可能,達到了形形色色的奇妙效果。”

如,《莫比烏斯II》(Mobius II, 1963)中生動形象地展示了莫比烏斯環的拓撲學性質。一只紅螞蟻無限地爬下去,不斷地在里側外側徘徊,形象地展示了莫比烏斯環的一個面的特性。如此便將理解晦澀的理論所需的空間想象能力降低,使之更易被人所理解。

《莫比烏斯II》

05

莫比烏斯環觸發的各種設計創意

上海世博會的湖南館“桃花源里·湘都(xiangdu)”,主體建筑外觀采用了雙莫比烏斯環扣造型,外表用紙裝飾,遠觀如一尊巨大的動態雕塑藝術品。整個“魔比思環”就像展開的卷軸,環體上的影像組成循環流動的彩帶,時而全景演播,時而滾動變化,時而回歸為純凈的留白,給人以更多靜思與遐想的空間。

上海世博會的湖南館

還有坐落在哈薩克斯坦共和國首都阿斯塔納的哈薩克斯坦國家圖書館集現代特色和傳統經典于一身,整個建筑呈向內“循環”的螺旋流線造型,簡約而雅致。BIG建筑師事務所資金合伙人BjarkeIngels解釋道:“國家圖書館的設計是將穿越空間與時間的四個世界性經典造型——圓形、環形、拱形和圓頂形——以莫比烏斯環的形式融合在了一起。它擁有環形的清晰明了,擁有圓形大廳的庭院設計、擁有拱形的走廊通道,以及蒙古圓頂帳篷般的柔和輪廓,四種建筑原型的結合創造了一個新的兼具地方性和國際性特色,既現代又永恒經典,既獨特又具有建筑歸屬感的全新國家標志性建筑。”

哈薩克斯坦國家圖書館

這種建筑設計,可以在同樣平面面積中通過不同角度的“空間扭曲”而讓原有的空間在不同方向得以“延伸”,從而獲得更多的可用空間。“它讓墻壁在不同的角度變化,時而是墻,時而是屋頂,時而成了地板,最后又變成了墻。” 國家圖書館項目負責人托馬斯~克里斯托弗森如是說。

又如,這是中國科技館的展品之一,叫“三葉扭結”。它是由“莫比烏斯環”演變而成的,是由一條三棱柱帶經過三次盤繞,將其中的一端旋轉120?后首尾相接,構成三面連通的單側單邊的三葉扭結造型。三葉扭結雖是立體圖形,但只有一個面,即單側面。這藍白相間的燈不停地閃爍,乍看是個漂亮的燈飾,但細瞧,它也只有一面和一邊,正喻示著科學沒有國界,各種科學之間沒有邊界,科學是相互連通的,科學和藝術也是相互連通的!

科技館的“三葉扭結”

一年一度的英國古德伍德速度節上,為蓮花汽車公司設計的雕塑,以類似莫比烏斯環的無限延伸空間向人們展示了汽車競速的無限樂趣,無論是形體還是構思都讓人無比震撼。

震撼眼球的蓮花汽車雕塑

另外,可知道“鳥巢”的女朋友“鳳巢”嗎?就是鳳凰衛視北京總部。

鳳凰衛視北京總部

建筑造型取意于“莫比烏斯帶”,并借助莫比烏斯帶的圖解,將高層辦公區和媒體演播室融合起來,在滿足全方位提供節目制作場地及其他配套服務設施的同時,形成了一個完整的空間和體量。

06

郵票上的莫比烏斯環

瑞典1982年發行了“不可能的圖形”系列郵票,其中有一枚郵票,這是一個立體化的“莫比烏斯圈”。只是,這種莫比烏斯環在現實中是不可能存在的,意在引導人們關注科學,探索宇宙不解之謎。

“不可能的圖形”郵票

07

史上最浪漫的結婚戒指

這枚莫比烏斯環婚戒標寫著:“我會一直在你身邊!”真是寓意深遠!

莫比烏斯環婚戒

08

影視、文學作品中的莫比烏斯環

以《愛麗絲漫游奇境》享譽文壇的路易斯?卡洛爾,恐怕是世界上最有數學情懷的童話作家。在他的故事中,少不了妙趣橫生的數學謎題。其中“手絹中的宇宙”就是如此一個奧妙無窮的莫比烏斯環:怎樣用兩張方手絹,縫成一個沒有里面與外面之分的“口袋”?——這個口袋由于兩面相通,所以能夠“裝下全宇宙”。

由A.J.Deutsch創作的短篇小說《一個叫莫比烏斯的地鐵站》為波士頓地鐵站創造了一個新的行駛線路,整個線路按照莫比烏斯方式扭曲,走入這個線路的火車都消失不見。

《哆啦A夢》(趕走討厭的客人)一集中,哆啦A夢有個道具的外觀就是莫比烏斯帶,在故事中,只要將這個環套在門把上,則外面的人進來之后,看到的仍然是外面。

哆啦A夢的莫比烏斯帶

還有,2015年上映的一部電影《前目的地》,整部電影的情節簡直就是一個莫比烏斯環。整個故事你不知道哪里是起點,也不知道是從哪里結束。

一個死循環的故事環

09

密碼——青銅

西班牙現代雕塑大師蘇比拉克作品的“密碼”這件作品由三部分組成:作品上部分的數字方格是“蘇比拉克幻方”,方框內的16個數字橫、豎、斜或分組相加均為33。33是耶穌死亡的年齡,也是耶穌復活的年齡!作品中間部分的“環帶”就是“莫比烏斯帶”,象征無限遠的意義。同時,又有魔幻和神秘之意義。作品下部分的織物皺褶則象征古希臘文明的藝術特點。

密碼

整個作品將組合數學與拓撲學等科學主題與雕塑藝術融合在一起,算是用藝術表現科學的杰出典范。

10

真是美妙的GEB:

當巴赫遇上莫比烏斯環

旋律的可逆精彩對稱,旋律的重組、對位的自由不失邏輯,最后,有限的旋律竟然可以呈現在“怪圈”——莫比烏斯環上,無休止的的進行下去,令人無限遐想!

最后,我們以這樣一個故事結束吧!

一位農夫請了工程師、物理學家、邏輯學家和拓撲學家來解決一個問題,想用最少的籬笆圍出最大的面積。

工程師用籬笆圍出一個圓,宣稱這是最優設計。物理學家將籬笆拉開成一條長長的直線,假設籬笆有無限長,認為圍起半個地球總夠大了。邏輯學家用很少的籬笆把自己圍起來,自豪地說:“我現在是在外面。”

最后,拓撲學家來了,用籬笆圍出一個莫比烏斯環,說:“我的這邊就是。”于是,他圍住了整個平面。

轉自 數學與藝術MaA







新國學網公眾號新國學網公眾號新國學網(www.nicolecarterherbs.com)的新國學理論&新國學啟蒙運動&理想社會&文化整理四大板塊(本網站中,新聞類未標注版權聲明的板塊除外),文章都做版權聲明和保護(使用/引用觀點理論者也請注明《新國學和基元學》雙重字樣的出處),未經同意和授權就轉載者,將視為同意支付每篇文章不低于50萬元人民幣的稿酬/版權使用費/且收取每點擊閱讀一次100元的計次費。使用/引用而未注明出處者,也將視情況予以法律追責。凡是轉載/引用/使用而引起糾紛者,因本站已經聲明在先,故而視同被告同意由新國學網及其有關人員以約定在先原則自主便利地選擇起訴地和管轄法院。New Sinology Website(This Website-sinology.cn)'s New Chinese Studies Theory & New Chinese Learning Enlightenment & Ideal Social & Cultural Organisation (except for the section on news, which is not marked with a copyright statement), articles are copyrighted and protected. (use/quote theory) Please also indicate the source of the double word "New Sinology and Cosbu". Those who reprint without consent and authorization will be deemed to agree to pay the remuneration/copyright usage fee of not less than RMB 500,000 per article. The fee for reading 100 yuan per click is charged. Those who use/quote but do not indicate the source will also be subject to legal blame as appropriate. Anyone who causes disputes due to reprinting/citing/using, because we and the site has already stated first, it is deemed that the defendant agrees that we and this website and its related personnel had gained the rights to choose the place of prosecution and the court of jurisdiction by the principle of prior agreement.
 
 


新國學網公眾號新國學網的新國學理論&新國學啟蒙運動&理想社會&文化整理四大板塊(本網站中,新聞類未標注版權聲明的板塊除外),文章都做版權聲明和保護(使用/引用觀點理論者也請注明《新國學和基元學》雙重字樣的出處),未經同意和授權就轉載者,將視為同意支付每篇文章不低于50萬元人民幣的稿酬/版權使用費/且收取每點擊閱讀一次100元的計次費。使用/引用而未注明出處者,也將視情況予以法律追責。凡是轉載/引用/使用而引起糾紛者,因本站已經聲明在先,故而視同被告同意由新國學網及其有關人員以約定在先原則自主便利地選擇起訴地和管轄法院。
日本强伦姧人妻完整版,诱人的护士BD在线观看,日本强伦姧护士在线观看